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1647번: 도시 분할 계획
첫째 줄에 집의 개수 N, 길의 개수 M이 주어진다. N은 2이상 100,000이하인 정수이고, M은 1이상 1,000,000이하인 정수이다. 그 다음 줄부터 M줄에 걸쳐 길의 정보가 A B C 세 개의 정수로 주어지는데 A번
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문제
동물원에서 막 탈출한 원숭이 한 마리가 세상구경을 하고 있다. 그러다가 평화로운 마을에 가게 되었는데, 그곳에서는 알 수 없는 일이 벌어지고 있었다.
마을은 N개의 집과 그 집들을 연결하는 M개의 길로 이루어져 있다. 길은 어느 방향으로든지 다닐 수 있는 편리한 길이다. 그리고 각 길마다 길을 유지하는데 드는 유지비가 있다.
마을의 이장은 마을을 두 개의 분리된 마을로 분할할 계획을 가지고 있다. 마을이 너무 커서 혼자서는 관리할 수 없기 때문이다. 마을을 분할할 때는 각 분리된 마을 안에 집들이 서로 연결되도록 분할해야 한다. 각 분리된 마을 안에 있는 임의의 두 집 사이에 경로가 항상 존재해야 한다는 뜻이다. 마을에는 집이 하나 이상 있어야 한다.
그렇게 마을의 이장은 계획을 세우다가 마을 안에 길이 너무 많다는 생각을 하게 되었다. 일단 분리된 두 마을 사이에 있는 길들은 필요가 없으므로 없앨 수 있다. 그리고 각 분리된 마을 안에서도 임의의 두 집 사이에 경로가 항상 존재하게 하면서 길을 더 없앨 수 있다. 마을의 이장은 위 조건을 만족하도록 길들을 모두 없애고 나머지 길의 유지비의 합을 최소로 하고 싶다. 이것을 구하는 프로그램을 작성하시오.
입력
첫째 줄에 집의 개수 N, 길의 개수 M이 주어진다. N은 2이상 100,000이하인 정수이고, M은 1이상 1,000,000이하인 정수이다. 그 다음 줄부터 M줄에 걸쳐 길의 정보가 A B C 세 개의 정수로 주어지는데 A번 집과 B번 집을 연결하는 길의 유지비가 C (1 ≤ C ≤ 1,000)라는 뜻이다.
출력
첫째 줄에 없애고 남은 길 유지비의 합의 최솟값을 출력한다.
오랜만에 MST 복습을 해본다. 크루스칼, 프림 알고리즘으로 MST를 구하곤 하는데, 예전에는 유니온 파인드를 이용하는 크루스칼이 직관적으로 느껴졌는데 다익스트라 문제를 쭉 풀고오니 프림이 손에도 익고 되게 직관적으로 이해가 된다.
cf) 안 되는 풀이
한 점에서부터 N-2개의 간선을 찾기
반례
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1
2
3
4
|
4 3
1 2 1
2 3 2
3 4 1
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cs |
(1, 2)마을과 (3, 4)마을로 나누어, 유지비는 총 2가 드는 것이 정답이지만, 한 점에서부터 찾아나가면 3이 나온다. 이 반례 생각하고도 '혹시?'하는 마음으로 제출해본게 레전드...
풀이
사실 쉽다: MST 구한 후, MST에서 가장 긴 길 하나 끊으면 된다.
증명
(확실하지 않음) MST에서 점 u, 점 v의 연결을 끊어 만들어진 두 집합 A, B을 생각해보면, A, B는 각각 MST이다. 이 중 최솟값을 구한거니, N-2개의 간선으로 두 개의 집합이 생기도록 연결한 경로의 길이 중 최소가 된다.
코드
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1
2
3
4
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6
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8
9
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19
20
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29
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38
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40
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47
48
49
50
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53
54
55
56
57
58
59
60
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import java.io.*;
import java.util.*;
public class Main {
public static void main(String[] args) throws IOException {
BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
StringTokenizer st = new StringTokenizer(br.readLine());
int N = Integer.parseInt(st.nextToken());
int M = Integer.parseInt(st.nextToken());
boolean[] visited = new boolean[N+1];
List<List<Edge>> graph = new ArrayList<>();
for (int i = 0; i <= N; i++) {
graph.add(new ArrayList<Edge>());
}
for (int i = 0; i < M; i++) {
st = new StringTokenizer(br.readLine());
int A = Integer.parseInt(st.nextToken());
int B = Integer.parseInt(st.nextToken());
int C = Integer.parseInt(st.nextToken());
graph.get(A).add(new Edge(B, C));
graph.get(B).add(new Edge(A, C));
}
PriorityQueue<Edge> pq = new PriorityQueue<>();
pq.add(new Edge(1, 0));
int cnt = -1;
int ans = 0;
int max = 0;
while (cnt < N-1) {
Edge cur = pq.poll();
if (visited[cur.loc]) continue;
visited[cur.loc] = true;
max = Math.max(max, (int) cur.dist);
ans += cur.dist;
cnt++;
for (Edge nxt: graph.get(cur.loc)) {
pq.offer(nxt);
}
}
System.out.println(ans-max);
}
static class Edge implements Comparable<Edge> {
int loc;
long dist;
public Edge(int loc, long dist) {
this.loc = loc;
this.dist = dist;
}
public int compareTo(Edge o) {
return Long.compare(this.dist, o.dist);
}
}
}
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cs |
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